9-Solving Graph Coloring Problem with PyQUBO

この節では、Ising formulations of many NP problems から6.1. Graph ColoringをPyQUBOを用いて解きます。

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グラフ彩色問題

グラフ彩色問題は以下のような状況の最適解を求める問題であり、NP完全問題の一つです。まずは具体的な問から考えてみましょう。

具体例

分かりやすくするために具体的に以下のような問を考えます。 > 10個のノードと20本の枝を持つ無効グラフが与えられたとします。枝で繋がれたノード同士は異なる色となるようにノードを色分けする時、3色で全てのノードを塗ることは可能であるか考えます。 > グラフは下のようになっているとします。

7c98b3ebc03f412db522925aa2373c78

塗り分けた後のグラフは下のようになります。 このグラフから全てのノードは3色で塗り分けることができると分かります。

688f138fa5ee422ea7e5489051e45b60

問題の一般化

無効グラフ\(G=(V,E)\)が与えられるとします。辺で結ばれたノードの色が重複しないように全てのノードを\(n\)色で塗り分けることができるか考えます。

全てのノードが\(v\)をindexとして持つとします。

ノードの色分けはバイナリ変数\(x\)で表すことにしましょう。\(x_{v,i}\)はノード\(v\)が色\(i\)で塗られている時に1,その他の状態では0をとります。

QUBO行列への変換

ハミルトニアンは以下のように定めることができます。

\[H = A\sum_{v=1}^V\left(1-\sum_{i=1}^n x_{v,i}\right)^2 + A\sum_{(uv)\in E}\sum_{i=1}^nx_{u,i}x_{v,i}\]

第一項はそれぞれのノードは必ず一色に塗られるという制約です。第二項は辺で繋がれたノードの色は異なるという制約です。これらが破られる度に\(H\)は増加します。

\(H=0\)となる状態が見つかった時、グラフ\(G\)\(n\)色で塗ることが可能だと分かります。

また、\(x_{v,i}\)でどのiの時\(x_{v,i}=1\)となるか調べることでノード\(v\)の色を調べることができます。

PyQUBOへの実装

QUBO行列の生成

上記の例で示したグラフの彩色問題を実際にQUBO行列にしてPyQUBOを用いて解いてみます。 まず、グラフの頂点数、塗り分けるのに使う色の数、辺を定義します。

[1]:
#頂点数
N_VER = 10
#色の数
N_COLOR = 4
#辺の数
N_EDGE = 20
#辺のリスト
graph = [(7, 5), (1, 6), (9, 0), (8, 9), (1, 2), (0, 6), (3, 4), (8, 2), (7, 1), (1, 5), (7, 0), (2, 4), (9, 3), (2, 0), (0, 1)]

次にバイナリ変数xを定義します。

[2]:
#PYQUBOをimportします
from pyqubo import Array
#QUBOを表現する変数(頂点数×色の数)
x = Array.create('x', shape=(N_VER,N_COLOR), vartype='BINARY')

この変数を用いてハミルトニアンを定義します。

[3]:
from pyqubo import Constraint
# ハミルトニアンの第一項 (各頂点に1色だけ塗る)
H_A = Constraint(sum((1-sum(x[v,i] for i in range(1,N_COLOR)))**2 for v in range(N_VER)), label='HA')
# ハミルトニアンの第二項 (辺で結ばれた頂点が同じ色で塗られていないか)
H_B = sum(sum(x[u,i] * x[v,i] for i in range (1,N_COLOR)) for u,v in graph)
# ハミルトニアン全体を定義します
Q = H_A+H_B

実行結果

ハミルトニアンをコンパイルしてto_qubo()でQUBOに変換します。 quboにはPythonの辞書型で格納されたQUBOが、そしてoffsetにはQUBO化した際に現れる定数(無視してよい)が代入されます。

では、これをSimulated Annealingのソルバーで解いて結果を見てみましょう。

[4]:
!pip install --upgrade networkx
Defaulting to user installation because normal site-packages is not writeable
Requirement already up-to-date: networkx in /home/jiko/.local/lib/python3.8/site-packages (2.5)
Requirement already satisfied, skipping upgrade: decorator>=4.3.0 in /home/jiko/.local/lib/python3.8/site-packages (from networkx) (4.4.2)
[5]:
model = Q.compile()
qubo, offset = model.to_qubo()
from pyqubo import solve_qubo

# nealを用いて問題を解きます。
import  neal
sampler = neal.SimulatedAnnealingSampler()
raw_solution = sampler.sample_qubo(qubo)
decoded_sample = model.decode_sample(raw_solution.first.sample, vartype="BINARY")

#結果の表示
print("[Result]")
print()
print(decoded_sample.sample)
print()

#制約を守れているか見ます
print("broken")
print(decoded_sample.constraints(only_broken=True))
print()

#グラフを表示します
import networkx as nx

G = nx.Graph()
G.add_nodes_from([str(i) for i in range(1,11)])
graph2 =[(str(a+1),str(b+1)) for a,b in graph]
G.add_edges_from(graph2)
cl=["plum","skyblue","yellowgreen"]
colors = []
for i in range(0,N_VER):
    for j in range(1,N_COLOR):
        if decoded_sample.array('x', (i,j))==1:
            colors.append(cl[j-1])
print(colors)
nx.draw(G, with_labels=True, font_weight='bold',node_color = colors)
[Result]

{'x[9][3]': 1, 'x[9][2]': 0, 'x[8][3]': 0, 'x[8][1]': 0, 'x[7][3]': 0, 'x[7][2]': 0, 'x[9][1]': 0, 'x[6][3]': 0, 'x[0][3]': 0, 'x[4][3]': 1, 'x[2][1]': 1, 'x[1][1]': 0, 'x[1][2]': 0, 'x[2][2]': 0, 'x[3][1]': 1, 'x[3][2]': 0, 'x[1][3]': 1, 'x[0][2]': 1, 'x[6][1]': 1, 'x[3][3]': 0, 'x[8][2]': 1, 'x[4][1]': 0, 'x[4][2]': 0, 'x[0][1]': 0, 'x[5][1]': 0, 'x[2][3]': 0, 'x[5][2]': 1, 'x[5][3]': 0, 'x[6][2]': 0, 'x[7][1]': 1}

broken
{}

['skyblue', 'yellowgreen', 'plum', 'plum', 'yellowgreen', 'skyblue', 'plum', 'plum', 'skyblue', 'yellowgreen']
../_images/ja_009-GraphColorPyqubo_17_1.png

OpenJijに投げる

次にOpenJijのSAで解いてみましょう

[6]:
# OpenJijのインポートをします
import openjij as oj
# SQAを使います。
sampler = oj.SASampler()
# PYQUBOで使ったquboを使います。
response = sampler.sample_qubo(Q=qubo)
# エネルギーが一番低い状態を取り出します。
dict_solution = response.first.sample
# デコードします。
decoded_sample = model.decode_sample(dict_solution, vartype="BINARY")
# 辞書型をsortして見やすくする処理を追加します。
solution = {}
for i in range(N_VER):
    solution[i] = {}
    for j in range(1,N_COLOR):
        solution[i][j] = decoded_sample.array('x', (i, j))
solution
[6]:
{0: {1: 1, 2: 0, 3: 0},
 1: {1: 0, 2: 0, 3: 1},
 2: {1: 0, 2: 1, 3: 0},
 3: {1: 0, 2: 0, 3: 1},
 4: {1: 1, 2: 0, 3: 0},
 5: {1: 1, 2: 0, 3: 0},
 6: {1: 0, 2: 1, 3: 0},
 7: {1: 0, 2: 1, 3: 0},
 8: {1: 1, 2: 0, 3: 0},
 9: {1: 0, 2: 1, 3: 0}}

グラフがどのように色が塗られるか見てみましょう。

[7]:
print("broken")
print(decoded_sample.constraints(only_broken=True))
print()
cl=["plum","skyblue","yellowgreen"]
colors = []
for i in range(0,N_VER):
    for j in range(1,N_COLOR):
        if decoded_sample.array('x', (i,j))==1:
            colors.append(cl[j-1])
print(colors)
nx.draw(G, with_labels=True, font_weight='bold',node_color = colors)
broken
{}

['plum', 'yellowgreen', 'skyblue', 'yellowgreen', 'plum', 'plum', 'skyblue', 'skyblue', 'plum', 'skyblue']
../_images/ja_009-GraphColorPyqubo_21_1.png

結果を見ると制約を満たしつつ全てのノードを3色で塗り分けられていると分かります。